Contoh operasi biner yang terdefinisi/tak terdefinisi/tidak terdefinisi dengan baik, tertutup/tidak tertutup

(a)    Didefinisikan operasi ∗ pada Z dengan syarat untuk setiap a,b∈Z , a ∗b = a + b . Apakah operasi ∗ merupakan operasi biner?

Pertama, akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup. Dapat diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka penjumlahan dua bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga. Sehingga dengan demikian a ∗b = a + b∈Z. Jadi, terbukti operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup.

Kedua, akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Dapat diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka setiap dua bilangan bulat dapat dijumlahkan dan menghasilkan bilangan bulat. Jadi, terbukti operasi ∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Jadi, operasi ∗ merupakan operasi biner.

(b)   Didefinisikan operasi ∗ pada Z dengan syarat untuk setiap a,b∈Z , a ∗b = a/b. Apakah operasi ∗ merupakan operasi biner?

Diperhatikan bahwa jika a =1 dan b = 2 akan berakibat a ∗b =1∗ 2 =1/2∉Z. Jadi,

operasi ∗ tidak memenuhi kondisi tertutup. Diperhatikan juga bahwa jika a =1 dan

b = 0 akan berakibat a ∗b =1∗0 =1/0 yang tidak bisa didefinisikan. Jadi, operasi ∗ tidak

memenuhi kondisi terdefinisi dengan baik. Jadi, operasi ∗ bukan merupakan operasi biner.

Contoh tabel Cayley dengan operasi biner yang asosiatif

#	p	q	r	s
p	p	p	p	p
q	p	q	q	q
r	p	q	r	r
s	p	q	r	s

Dari tabel di atas dapat kita lihat bahwa:

p#(q#r)=(p#q)#r p#q=p#r p=p

q#(r#s)=(q#r)#s q#r=q#s q=q

Contoh Tabel Cayley dengan operasi biner yang komutatif

*	a	b	c	d
a	a	b	c	d
b	b	c	b	c
c	c	b	d	b
d	d	c	b	b

Pada tabel di atas dapat kita lihat bahwa

a*b=b*a=b

c*b=b*c=b

a*c=c*a=c

Contoh Tabel Cayley dalam Operasi Biner

*	u	v	w
u	u	w	w
v	v	v	v
w	w	u	v

Dalam membaca operasi biner pada table, elemen yang dioperasikan adalah elemen yang di kolom paling kiri dengan operasi * dengan elemen yang di baris paling atas. Misalnnya pada  table operasi di atas, kita dapat melihat bahwa u*u=u, u*v=w, v*v=v, w*v=u, dan seterusnya.

Contoh Operasi Biner yang Bersifat Asosiatif

(a)    Operasi penjumlahan pada R. misalnya 2 + (4+5)= (2+4)+5=11.

(b)   Operasi biner yang didefinisikan a*b=a^b di N tidak asosiatif karena 2*(1*3)=2 sedangkan (2*1)*3=8.

Contoh Operasi Biner yang Bersifat Komutatif

(a)    Pada R didefinisikan suatu operasi biner # dimana a#b=a+b-1. Operasi ini komutatif karena a # b = a + b – 1 = b + a – 1 = b # a.

(b)   Operasi biner penjumlahan dan perkalian pada R bersifat komutatif. Tetapi operasi biner pengurangan tidak memenuhi kondisi komutatif. Misalnya 5 – 7=  -2, sedangkan 7 – 5=2.

Contoh-contoh Operasi Biner

(a)    Pada N didefinisikan # dimana x#y=xy. Jadi 2#3=6, 4#7=28.

(b)    Pada N didefinisikan operasi biner dimana x!y = x. Jadi 4!5=4,8!6=8.

(c)    Pada N didefinisikan operasi biner * dimana x * y = x^y. Jadi 6*5=7776, 2*3=8. Dalam contoh ini kita dapat mengetahui maksud operasi biner adalah mengaitkan pasangan terurut agar jelas pengaitannya, misalnya 2*3=8 tidak sama dengan 3*2=9.